théorème d'incomplétude de Gödel

Quelqu'un saurait-il expliquer simplement le théorème d'incomplétude de Gödel?

Signifie-t-il que les mathématiques sont très limitées pour connaître et moduler le monde

pourquoi personne ne répond,

Personne de compétent en la matière pour le moment.

Une arithmétique non contradictoire ne peut former un systeme complet! La non contracdiction constitue dans ce systeme un énoncé indécidable!! C'est pourtant clair!! non!

C'est un peu plus clair... merci mais faut pas s'énerver.

Je m'enerve pas "j'explique". Non désolé! Mais tu sais pour ce genre de questions le net a la réponse!!!!

Oui mais étant pas très compétent dans le domaine la recherche internet est trop fastidieuse.

Le théorème d'incomplétude de Gödel affirme que dans tout système formel qui est assez puissant pour faire de l'arithmétique et qui est consistant, il existe des énoncés indécidables.

En terme plus clair:

un "système formel" c'est si tu veux une "théorie mathématique" ; en gros ça consiste en une liste d'axiomes, c'est à dire des affirmations qu'on considère comme vraies.

A partir de ces axiomes, on peut construire d'autres propositions, avec lesquelles on peut construire encore d'autres propositions, et ainsi de suite. C'est comme ça que sont "construites" les mathématiques.

Quand on demande que le système soit assez puissant pour faire de l'arithmétique, ça signifie que les axiomes qu'on se donne permettent de définir la notion de nombre entier et les opérations de base (addition, multiplication) sur les nombres entiers.

Donc on veut que le système formet soit "utilisable" pour faire des mathématiques (on ne veut pas d'un système qui ne mène à rien).

Un système est consistant lorsqu'il est impossible de prouver à la fois un énoncé et son contraire dans ce système (dans un système inconsistant toute proposition est à la fois vraie et fausse, et donc le système n'a aucun intérêt).

Et enfin un énoncé P est indécidable dans un système formel S lorsqu'il est impossible de prouver P ou non-P (le contraire de P) dans ce système.

Ce n'est pas qu'on n'arrive pas à prouver P, c'est qu'il n'est pas possible de prouver P avec les seuls axiomes du système S. Même en cherchant pendant des siècles on n'y arrivera pas. La proposition P n'est ni fausse ni vraie dans le système S, elle est indécidable, c'est à dire qu'on ne peut pas trancher entre P et non-P.

(la suite et un exemple un peu plus tard là j'ai plus le temps, si t'as une question n'hésite pas... je fais des études de math et ce sujet m'intéresse)

Merci de prtager ton savoir.

C'est pas facile mais j vais essayer de comprendre...

A plus

Un exemple assez simple pour illustrer est celui du 5ème postulat d'Euclide.

La géométrie euclidienne (c'est à dire la géométrie "normale" que tout le monde connait) est fondée sur 5 axiomes.

Ce sont des énoncés très simples du genre "par deux points distincts passe une et une seule droite" qu'on considère "vrai" et qu'on utilise comme "particules élémentaires" pour prouver des propositions plus compliquées (comme les théorèmes de Thalès et de Pythagore par exemple).

Le 5ème axiome de cette théorie est l'énoncé que "par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite parallèle à la première droite" (le postulat d'Euclide).

Pendant longtemps les mathématiciens ont jugé que cet énoncé n'était pas assez évident pour être un axiome, et pensaient qu'on pouvait déduire le postulat d'Euclide à partir des 4 autres axiomes (mais personne n'a réussi).

Finalement, on a réussi à prouver qu'il est impossible de prouver le postulat d'Euclide à partir des seuls 4 premiers axiomes.

En d'autre terme, le postulat d'Euclide est un indécidable de la géométrie absolue. On ne peut pas prouver que le postulat d'Euclide est vrai, on ne peut pas non plus prouver qu'il est faux.

(géométrie absolue = géométrie fondée sur les 4 premiers axiomes, mais pas le 5ème)

Lorsqu'une proposition P est indécidable dans un système formel S, on peut très bien "rajouter" cette proposition (ou sa négation) aux axiomes de S et ainsi créer un nouveau système formel S'.

Vu qu'on ne peut pas dire si P est vrai ou faux dans S, rien n'empêche donc de "décider" que P est vrai (ou faux), et de faire de P un axiome!

Ainsi, si on complète les 4 axiomes de la géométrie absolue par le postulat d'Euclide, on obtient une nouvelle théorie dans laquelle le postulat d'Euclide est vrai (vu que c'est pris comme axiome). Cette théorie n'est autre que la géométrie euclidienne (géométrie "habituelle").

Mais on pourrait aussi (et ça se fait) rajouter à la géométrie absolue un autre axiome, par exemple qui dit que "par un point extérieur à une droite ne passe aucune droite parallèle" (et donc dans la nouvelle théorie obtenue le postulat d'Euclide est faux). On obtient ainsi une autre sorte de géométrie, la géométrie elliptique (on peut dire que c'est la géométrie que tu aurais en dessinant sur la surface d'une sphère).

On dit d'un système formel qu'il est complet lorsqu'il n'existe pas de propositions indécidables pour ce système formel, c'est à dire que tout énoncé mathématique peut être démontré ou infirmé à partir des axiomes du système.

Et ce que le théorème de Gödel affirme, c'est que justement un système formel n'est jamais complet, il peut comporter autant d'axiomes que tu veux, il sera toujours possible de trouver un indécidable pour ce système.

Attention, on parle bien d'une proposition indécidable pour un système formel donné.

C'est à dire qu'une proposition indécidable dans S n'est pas indécidable "pour toujours". Elle est seulement indécidable dans S, mais elle ne l'est peut être pas dans un autre système formel que S.

Ok en gros, rien n'est vrai ou faux en soit mais seulement dans un cadre bien définit.

Je me trompe?

Si on veut oui.

En fait en math on ne cherche pas vraiment à découvrir une "métavérité".

On considère (on peut même dire qu'on décide) que certaines choses sont "vraies", et à partir de ces "vérités" découle tout le reste.

Mais on peut très bien choisir d'autres "vérités" de départ, et ainsi contruire d'autres mathématiques.

En général on essaye de choisir les axiomes le plus simple possible et qui paraissent "naturels". Par exemple "il existe un ensemble vide" ou "deux ensembles sont dit égaux s'ils contiennent les mêmes éléments" (la "théorie des ensembles" est la base des mathématiques modernes ; même des domaines comme l'arithmétique ou la géométrie qui peuvent sembler éloignés de la notion d'ensemble sont construit à partir de la théorie des ensembles).

Le problème c'est qu'un système formel ne sera jamais "achevé", il y aura toujours de nouveaux axiomes à rajouter (de moins en moins simple) si on veut pouvoir "atteindre" des propositions autrement indécidables.

Mais il ne faut pas trop vite essayer de tirer des conclusions philosophiques du théorème de Gödel. Tant que tu ne définis pas c'est quoi ton système formel, tes axiomes, etc, le théorème de Gödel n'a aucun sens, et n'est plus que du blabla pour faire sérieux

Beaucoup d'auteurs ont tenté maladroitement des "applications" du théorème de Gödel en philosophie, dans d'obscures discussions sur la Réalité, la Vérité, l'Essence, et tous ces concepts qui sont par nature flous, imprécis et mal définis - tout le contraire des mathématiques.

Pourquoi n'y a t-il pas de publicité sur ce topic ?

(Enfin, il suffit que je le dise pour qu'elle apparaisse... verra qui vivra )

Ce sont les axiomes les mieux définis qui sont le plus indécidables? N'y a-t-il pas un paradoxe?

Je ne dis pas que c'est faux mais si c'est ça, les représentations sociales des mathématiques sont un peu faussées.

Non là tu n'as pas compris

Un axiome n'est jamais indécidable, un axiome c'est quelque chose qu'on considère comme vrai. Un "système formel" c'est une collection d'axiomes et des règles de raisonnement.

Une proposition indécidable pour un système, c'est quelque chose qu'on ne peut ni infirmer ni démontrer avec le système (c'est à dire qu'on ne peut pas déduire à partir des axiomes du système).

Mais dans un autre système, composé d'autres axiomes, cette proposition ne sera peut être plus indécidable. Si cet autre système permet de démontrer les mêmes propositions que le premier système, et qu'en plus de ça il permet de démontrer de nouvelles propositions (qui étaient indécidables dans le premier système), alors on dit que ce système est plus complet que le premier système.

Et ce que dit Gödel, c'est que tout système est incomplet, c'est à dire dans tout système on peut trouver des propositions indécidables.

2 pour moi merci.

Merci Tintagel

Merci cbar pour les 2 aspirine

Et enfin un énoncé P est indécidable dans un système formel S lorsqu'il est impossible de prouver P ou non-P (le contraire de P) dans ce système.

Ce n'est pas qu'on n'arrive pas à prouver P, c'est qu'il n'est pas possible de prouver P avec les seuls axiomes du système S. Même en cherchant pendant des siècles on n'y arrivera pas. La proposition P n'est ni fausse ni vraie dans le système S, elle est indécidable, c'est à dire qu'on ne peut pas trancher entre P et non-P.

Après la très bonne vulgarisation de Tintagel, je fais une "petite correction" (il me semble que ce point induisait dabord en erreur) : Lorsqu'on parle d'un système, il n'y a pas de notion de vérité. Il y a des formules prouvables, des formules réfutables (on peut prouver leur négation).

Pour parler de vérité, il est nécessaire de considérer un modèle de notre système.

Dans un modèle, toute propriété est soit vraie soit fausse, mais :

• Toute propriété prouvable dans notre système S est vraie dans les modèles de S.
  
• Toute propriété réfutable dans notre système S est fausse dans les modèles de S
  
• Si la propriété est indécidable, cela signifie qu'il existe un modèle dans lequel cette propriété est fausse, et un autre modèle dans lequel cette propriété est vraie (modulo quelques hypothèses que j'omets par soucis de simplicité)
  

Prenons un exemple simple : Trois points A, B, C dans le plan euclidien.

La propriété "A, B et C sont alignés" est indécidable (on ne sait rien sur ces points, donc on ne peut rien montrer).

Et effectivement, il est possible que ces points soient alignés ou soient non-alignés.

Merci Grenouille verte,

Pour parler de vérité, il est nécessaire de considérer un modèle de notre système.

Mais quand on dit "3 points sont alignés", les 3 points sont alignés.

Il serait faut de dire si 3 points sont alignés, ils ne le sont peut-être pas.

mais plus sage de dire si, dans mon système, 3 points sont alignés ils ne le seront peut-être pas dans un autre système.