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Notions d'opérateurs classique et quantique.


curieux1

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Membre, 96ans Posté(e)
curieux1 Membre 944 messages
Baby Forumeur‚ 96ans‚
Posté(e)

Bonjour,

Théia a fait cette (bonne !) suggestion suite à la fermeture de « Petit questionnaire » :

Ajout du 19/10. Suggestion suite à notre échange MP : Vous pouvez aussi bien utiliser ce questionnaire en guise d'introduction à votre texte, et ainsi le faire paraitre à titre d'information au lecteur. Mais il ne saurait servir de condition préalable à toute participation au sujet. Sur ForumFr, les sujets sont ouverts à tous les membres intéressés. Ce sont nos CGU qui restreignent certains types de messages.

Oui, voilà une excellente idée.

Je vais donc exploiter cette bonne idée en commençant par tenter de montrer la différence entre les opérateurs de la mécanique classique et ceux de la mécanique quantique.

Si cela se révèle intéresser les participants, je poursuivrai en développant les autres sujets présents dans mon questionnaire initial. Sinon, je passerai à autre chose.

Opérateurs en physique classique

Tout d’abord, on appelle « opérateur » en mathématique un symbole ou une suite d’opérations qui transforment un nombre ou une relation en un(e) autre.

Par exemple, le symbole (racine carrée) transforme un nombre n en un nombre m tel que m² = n. Exemple : √(9) -> 3.

Cette définition, quoique juste, est pourtant plutôt « naïve », car la vraie définition est plus compliquée que cela puisqu’elle fait appel à la notion « d’application » d’un espace dans un autre. Dans l’exemple de la racine carrée, l’espace des réels est appliqué dans lui-même.

Notons aussi au passage qu’une intégrale est un opérateur, de même que la dérivation etc.

Il existe aussi un opérateur en mécanique classique appelé « opérateur hamiltonien ».

C’est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’un système.

Par exemple, soit un corps C de masse m situé à l’altitude h au-dessus du niveau de la mer.

Son énergie potentielle Ep est : Ep = mgh où g, accélération de la pesanteur, est égale à 9,81m/s².

Son énergie cinétique Ec est : Ec = (1/2)mv².

Alors le hamiltonien Hc de C est donc : Hc = Ep + Ec = mgh + (1/2)mv².

On voit bien sur cet exemple que l’hamiltonien donne directement, in fine, un nombre ou plusieurs.

Il en est de même d’un autre opérateur, le lagrangien, qui lui est la différence entre Ep et Ec. (*)

Pour ceux que cela pourrait intéresser, j’attire leur attention sur le concept « d’espace des phases » qui remplace l’étude de n particules dans l’espace à 3 dimensions par l’étude d’une particule (appelée le « portrait » ) dans un espace à 6n dimensions.

Ne voulant pas être trop long, je remets la notion d’opérateur en mécanique quantique à demain.

Bien entendu, je suis prêt à répondre à d’éventuelles questions concernant ce qui précède.

Puisqu'il s'agira dans la suite du concept de "matrice", j'en parlerai en introduction de la seconde partie.

Cordialement.

(*)On démontre que l’hamiltonien est la « transformée de Legendre » du lagrangien.

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Invité Vintage
Invités, Posté(e)
Invité Vintage
Invité Vintage Invités 0 message
Posté(e)

Bonjour

Un petit cours sur les intégrales ce serait bien.

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Membre, 96ans Posté(e)
curieux1 Membre 944 messages
Baby Forumeur‚ 96ans‚
Posté(e)

Bonjour Vintage,

Oui, ce serait intéressant mais je crains que cela ne soit trop technique.

Peut-être exposer seulement le principe de l'intégrale de Riemann avec quelques exemples simples ?

On verra,

Amicalement.

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Membre, Baby Forumeur, 29ans Posté(e)
Eventuellement Membre 3 422 messages
29ans‚ Baby Forumeur,
Posté(e)

Il faut voir l'intégration comme une sorte de sommation généralisée à des domaines non discrets mais continus. Pour cela, on peut s'intéresser à l'usage que fait la physique du symbole d'intégration, qui n'est plus utilisé pour faire du calcul formel, mais pour indiquer que l'on effectue la sommation d'une quantité sur un domaine continu (la forme du symbole rappelle d'ailleurs un S, pour "summa" en latin).

Aussi, l'une des meilleures façons d'enseigner l'intégration est de partir d'une approche pragmatique et visuelle. Utiliser la somme de Riemann pour introduire l'intégration au sens de Riemann et non pas au sens de Lebesgue parce que cette dernière est un peu plus conceptuelle. Pour ne pas faire de vulgarisation à outrance, il faut d'abord parler du concept de fonction pour pouvoir parler d'intégration. Sinon, étudier la sommation sur des ensembles discrets et étendre le concept à une sommation sur des ensembles continus pour aborder le thème de façon plus générale. Cela me semble être une bonne approche quand on souhaite faire de la physique, et que l'on veut établir des équations fondamentales de la Nature sans pour autant faire du calcul.

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Membre, 96ans Posté(e)
curieux1 Membre 944 messages
Baby Forumeur‚ 96ans‚
Posté(e)

Il faut voir l'intégration comme une sorte de sommation généralisée à des domaines non discrets mais continus. Pour cela, on peut s'intéresser à l'usage que fait la physique du symbole d'intégration, qui n'est plus utilisé pour faire du calcul formel, mais pour indiquer que l'on effectue la sommation d'une quantité sur un domaine continu (la forme du symbole rappelle d'ailleurs un S, pour "summa" en latin).

Aussi, l'une des meilleures façons d'enseigner l'intégration est de partir d'une approche pragmatique et visuelle. Utiliser la somme de Riemann pour introduire l'intégration au sens de Riemann et non pas au sens de Lebesgue parce que cette dernière est un peu plus conceptuelle. Pour ne pas faire de vulgarisation à outrance, il faut d'abord parler du concept de fonction pour pouvoir parler d'intégration. Sinon, étudier la sommation sur des ensembles discrets et étendre le concept à une sommation sur des ensembles continus pour aborder le thème de façon plus générale. Cela me semble être une bonne approche quand on souhaite faire de la physique, et que l'on veut établir des équations fondamentales de la Nature sans pour autant faire du calcul.

Bonjour Eventuellement.

Et pourquoi, éventuellement, ne développeriez-vous pas votre bonne idée ? Sans aller jusqu'à Lebesgue ni Stieltjes, bien sûr!

Et se limiter aux intégrales définies est encore une bonne idée.

Amicalement.

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Membre, Baby Forumeur, 29ans Posté(e)
Eventuellement Membre 3 422 messages
29ans‚ Baby Forumeur,
Posté(e)

Bonjour Eventuellement.

Et pourquoi, éventuellement, ne développeriez-vous pas votre bonne idée ?

Par manque de temps. Je ne veux pas de travail à moitié fait.

Mais je t'invite à le faire bien entendu, si cela peut éclairer certaines personnes.

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Membre, Baby Forumeur, 29ans Posté(e)
Eventuellement Membre 3 422 messages
29ans‚ Baby Forumeur,
Posté(e)

Pas forcément assez vulgarisé pour les amateurs.

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Membre, Agitateur Post Synaptique, 55ans Posté(e)
zenalpha Membre 18 975 messages
55ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)

Je dirais : ma chérie, dessine une ligne courbe sur le mur de ta chambre sans relever ton pinceau et sans revenir en arrière.

L'intégrale de ta courbe, c'est la surface qu'il te faudra peindre du sol à ta courbe.

Ensuite va voir ta mère pour acheter le pot de peinture qui couvre cette surface.

Et sachant qu'il faut deux couches et que ta mère en tire déjà une, calcule le nombre d'heures que papa va travailler pour récupérer vos conneries.

S'il y a une fenêtre déduis de la surface à peindre initiale la surface à ne pas peindre en retirant l'intégrale de la fenêtre.

Si tu dérives, c'est par ton côté primitif et tes développements limités avec ce côté intégralement cruche quand tu te soulignes la courbe de tes lèvres avec ton rouge à lèvres donc va bosser vilaine fille à papa !

Voila qui va plaire aux filles.

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Membre, 157ans Posté(e)
chapati Membre 6 957 messages
Baby Forumeur‚ 157ans‚
Posté(e)

De là on déduit la difficulté d'intégration du voile dérivé du même nom ainsi que les arguments plutôt tangents de part et d'autres.

Je vous fais grâce de l'équation à plusieurs inconnues...

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Membre, Agitateur Post Synaptique, 55ans Posté(e)
zenalpha Membre 18 975 messages
55ans‚ Agitateur Post Synaptique,
Posté(e)

Rappelons que le professeur kalachnikov a travaillé en janvier 2015 le principe de désintégration en rafales discrètes sur des dessinateurs de courbes avec un certain succès expérimental.

La jonction du discret au continu où le non commutatif donne son sens à l'ordre des membres retrouvés

Pas de bras pas de chocolat

Une nouvelle symétrie du groupe délié E8 a été mesurée de facto et on a meme eu trace de la manifestation de nombre d'ordures

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