Maths Aide!

Bonsoir tout le monde,

Ayant un niveau de bachelier, j'aimerais comprendre comment s'applique et à quoi sert les suites de Cauchy? (Mathématiquement)

De plus, à quoi correspond le R^n en maths? Peut-ont parler d'ensemble?

Merci d'avance,

Un élève curieux et désireux d'apprendre :)

Bonne soirée

salut mike

à mon avis les suites de cauchy ne doivent pas servir à grand chose dans notre vie de tous les jours, mais elles doivent bien servir à quelque chose aussi. (tout ce qui se calcule sert à quelque chose)

il me semble que Rn représente un certain nombre de réels (à part sur un panneau car cela voudrait dire route nationale), donc on peut dire qu'il est un ensemble, un ensemble de réels donnés, ou inconnus.

Bonjour,

Pour des infos sur les suites de Cauchy, wikipédia est assez bien réalisé sur ce sujet.

Elles sont utiles pour déterminer si un espace est complet, en gros si l'espace n'a pas de "trous".

Par exemple, l'ensemble des rationnels (Q) n'est pas un espace complet car on peut construire des suites qui convergent vers des éléments qui n'appartiennent pas à cet espace (racine de 2 par exemple ou encore le nombre d'or).

Pour ton autre question, Rⁿ est un ensemble. L'ensemble des nombres complexes C peut être "assimilé" à l'ensemble R².

Ces ensembles sont souvent utilisés pour définir des espaces vectoriels.

Ces objets ainsi construits ont parfois des utilités dans d'autres domaines des sciences (physique...)

Pour Rⁿ : c'est un ensemble. Un ensemble d'ensembles est toujours un ensemble. On peut même considérer un élément (comme 1, 0, pi, 2.3586...) comme un ensemble (qui ne contient ainsi qu'un élément), mais là ça devient stérile.

A merci pour la suite de cauchy! Il me semble avoir mieux distinguer ce qu'il en ait. Quand apprenons cela? Quelle année d'uni?

De plus,

"Une suite de réels ou de complexes est dite de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini au sens où :"

(Selon wikipédia) ==>mais comment calculer ce "sup", à quoi correspond t-il? Pouvons nous prendre un exemple simple et appliquer cette formule?

Merci pour vos réponses sur l'ensemble R^n. C'est à dire que le n "joue" le rôle du nombre d'axe? Par exemple si on est sur trois plans (x,y,z) c'est un ensemble R^3 ? Si j'ai bien compris?

Merci d'avance pour toute vos réponses!

Quelqu'un pourrait me venir en aide :) ?

Merci!

Bonjour,

Ce "sup" correspond à une borne supérieure,

Pour un exemple,

on considère la suite réelle (Un) définie par , pour n>=0, Un = 1/2ⁿ.

On pose An = sup|Up - Uq| avec p>n et q >n

On a :

|Up - Uq| = |1/2p - 1/2q|

|1/2^p - 1/2^q| < 1/2^p+1/2^q < 1/2ⁿ +1/2ⁿ

Donc, |1/2^p-1/2^q|<1/2^n-1, cette majoration ne dépendant que de n.

Donc, An < 1/2^n-1

et lim (n tend vers +infini) An = 0.

Il est possible que j'ai réalisé quelques erreurs, cela remonte à longtemps .

Bonjour, Merci pour cet exemple!

Cependant je ne comprend pas quelques démarches:

1. |1/2^p - 1/2^q| < 1/2^p+1/2^q < 1/2ⁿ +1/2ⁿ

2. Donc, |1/2^p-1/2^q|<1/2^n-1, cette majoration ne dépendant que de n.

Comment arrives-tu à 1/2^n-1 ? de l'étape 1 à l'étape 2 ??

Que signifie que la majoration ne dépend que de n?

Finalement, ou as-tu utilisé cette borne "sup" ?

Merci d'avance, à part sa j'ai tout compris :)

Bonjour, Merci pour cet exemple!

Cependant je ne comprend pas quelques démarches:

1. |1/2^p - 1/2^q| < 1/2^p+1/2^q < 1/2ⁿ +1/2ⁿ

2. Donc, |1/2^p-1/2^q|<1/2^n-1, cette majoration ne dépendant que de n.

Comment arrives-tu à 1/2^n-1 ? de l'étape 1 à l'étape 2 ??

1/2ⁿ + 1/2ⁿ = 2/2ⁿ = (1*2)/(2^n-1*2)=1/2^n-1

Que signifie que la majoration ne dépend que de n?

La majoration effectuée ne dépend plus des p et q, elle est donc vérifiée pour tout p et q supérieurs à n, en particulier pour la borne sup de cet ensemble (enfin...j'espère ne pas dire de grosses bêtises....)

Finalement, ou as-tu utilisé cette borne "sup" ?

La borne supérieur est le plus petit des majorant de l'ensemble A_n = {|1/2^p-1/2^q| ; p>n ; q>n}. La majoration étant vraie (je l'espère) quelque soit p et q, elle est aussi vérifiée pour la borne sup.

Souvent, en analyse, on cherche à majorer ou à minorer plus qu'à calculer la valeur exacte de la borne sup/inf.

Merci d'avance, à part sa j'ai tout compris :)