Note : Pourquoi 1=0.999999999...

Oui... et j'en connais au moins 5 démonstrations...

''... Je dis et répète que cette égalité est appellée paradoxe parce qu'il est impossible de concevoir l'infini...''

Le plus paradoxal semble bien être que vous le conceviez pour votre part... tout comme les mathématicien. Vous concevez donc l'impossible cher Mad_World... Bravo!

''... Depuis le début tu confonds un nombre et une représentation d'un nombre.
1 + 1 = 2...''

é la différence près que 0,9 et 1,0 sont ici considéré dans un même système de représentation cher Akarkop... et non dans dans 2 systèmes différents.

1+1 est une équation, tout comme 1/4 ( 1 divisé par 4) alors que 2 et 0,25 sont des solutions... question d'un côté et réponse de l'autre, mais si vous concevez qu'une équation est une solution et qu'une solution est une équation alors tant mieux pour vous...

''... Dans ton raisonnement, tu imposes une valeur finie de décimale (oui, X, c'est fini) => tu ne parles donc pas de 0,9 ...''

N'est-ce pas aussi ce que vous faîtes en posant une limite chère Feuille...
étant donné que la division de 1 par 9 laisse toujours un reste en base 10, poser que ce qui a toujours un reste (0,9) devient comme l'unité qui n'en a pas (1,0) serait-il logique... Celà ne fait que compenser le manque expressif de la méthode décimale.

Prenez l'exemple de la suite suivante, que j'ai déjà expliqué à Grenouille Verte après qu'il l'ait lui-même proposé.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Dans cette suite on vous demande de couper le dernier nombre de la suite en 2 et de l'ajouter à la suite... puis ensuite de poursuivre indéfiniment.
Il est évident que pour obtenir une valeur finie alors les deux derniers termes de cette suite devront être égaux... sinon vous vous approcherez éternellement de 1 dans ce cas mais sans l'atteindre...
En disant que la suite a une valeur 1 lorsqu'on additionne tous ses termes vous me prouvez tout simplement que vous n'avez pas suivi la consigne et triché sur la procédure voulant que tous les termes possèdent la moitié de la valeur de son précédent... que vous aurez simplement répété le dernier par paresse ou désillusion.

De même si je vous demande de placer des 9 et seulement des 9 sur une ligne et ce de façon à ce qu'il n'y en ait jamais assez... croyez-vous que de mettre un 1 pour les remplacer tous serait justifiable par le simple fait que vous définissiez que c'est impossible. Et que parce que vous ne pourrez jamais effectuer l'opération demandée dans son ensemble vous la remplacerez par un autre qui voudrait dire que c'est comme si vous l'aviez fait.

Mais je reviens à cette citation de Mad_Word :

''... Je dis et répète que cette égalité est appellée paradoxe parce qu'il est impossible de concevoir l'infini...''

Et je vous laisse réfléchir sur ce paradoxe... celui voulant que les mathématiciens auraient conçu ce qu'il serait impossible de concevoir.
Ou encore celui disant que toute règle ait une exception... et qui voudrait que l'exception à cette même règle serait qu'elle n'aurait pas d'exception... exception faite de l'infini sans doute.

Mad_World, le vendredi 19 mars 2010 à 11h04, dit :

C'est pas impossible ça

Mad_World, le vendredi 19 mars 2010 à 11h04, dit :

Pourquoi pas
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Est-ce que 1 x 0,999999999... = 1

ou

Est-ce que 1 x 0,999999999... = 0,999999999...

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Réponse :

1 x 0,999999999... = 0,999999999...


La neutralité de 1 dans la multiplication est admise comme étant prioritaire mais surtout la Seule ...

Ainsi je démontre que 1 n'est pas égale à 0,999999999...

Sinon nous aurions 1 comme résultat ,ce qui est inconcevable avec "la définition de la multiplication"



Pourquoi ?, parce que 1 est le nombre à qui l'on fait faire n'importe quoi

et que parfois le terme "utile" est admis

pascalin, le vendredi 19 mars 2010 à 23h00, dit :

Réponse :

1 x 0,999999999... = 0,999999999... = 1


La neutralité de 1 dans la multiplication est admise comme étant prioritaire mais surtout la Seule ...

Ainsi je démontre que 1 n'est pas égale à 0,999999999... ne démontre rien...


Sinon Puisque nous aurions avons 1 comme résultat ,ce qui est inconcevable avec "la définition de la multiplication"



0.9 est l'écriture simplifiée de

lim ([Somme de 1 à n] 9*10^-n ) : n tend vers +infini

[Somme de 1 à n] 9*10^-n s'appelle une série.

Une limite convergente a une valeur exacte appartenant à IR.

lim ([Somme de 1 à n] 9*10^-n ) : n tend vers +infini = 1

L'égalité ici est une égalité mathématique

Ce qui signifie que 0.9=1
Il s'agit de deux ecriture différente du même nombre :

2*1/2= lim(sin(x)/x en0) = sin(pi/2) = cos(0) = ln(e) = 1! = exp(0) = 1/(1-x) en 0 = -(i²) = 2-1 = trace( Id(n*n) ) - trace (id(n-1*n-1) = 1 = lim ([Somme de 1 à n] 9*10^-n ) : n tend vers +infini = 0.9 = un = one = uno = ein = 100% ....

Avez vous ouvert un livre de math une fois dans votre vie ????????????????????

@ Génie : Je ne concois pas l'infini... mais je concoit qu'il existe.
Tout ceux ici qui prétende cette égalité fausse confondent l'infini et le fini... confondent : (0.99999999999...) avec (0.99999999999) Ce qui est différent.

0.9999999... N'EST PAS UNE ECRITURE MATHEMATIQUE RIGOUREUSE. Son écriture est 0.9 et il s'agit d'une écriture simplifiée de lim ([Somme de 1 à n] 9*10^-n ) : n tend vers +infini (qui vous en conviendrez est légèrement plus long à écrire). Le calcul mathématique classique permet alors de montrer l'égalité avec 1. Ceci porte un nom. Il s'agit du développement décimal impropre de 1. C'est une notation au même titre que sinc(0) = 1 = lim(sin(x)/x) quand x tend vers 0.

Non mais ho... ça commence à devenir énervant tous ces gens qui veulent réinventer les mathématiques !!??

IL ne s'agit pas d'un axiome... Mais d'une limite qui admet une égalité mathématique (c'est à dire stricte) avec un nombre de IR. Ce nombre est 1. Il ne s'agit pas d'un autre nombre. Il s'agit du même nombre écrit différemment...

Quelqu'un parle chinois pour traduire ça à ceux qui le comprennent pas encore ??????

Le Génie, le vendredi 19 mars 2010 à 18h55, dit :

Je ne conçois mas l'infini... mais son existence mathématique. Et surtout... le fait que l'infini n'est pas un nombre... Dire "compter le nombre de "9" de 0.99999... n'a pas de sens... c'est tout.

Le Génie, le vendredi 19 mars 2010 à 18h55, dit :

Si... c'est l"criture dans deux système différent selon votre définition, puisque 0.9 est la notation de la limite d'une série, c'est à dire la notation via oppérateurs mathématiques qui sont dans ce cas bien plus nombreux que dans "1+1=2" :
Il y a :
l'oppérateur limite
L'opérateur "somme sur indice"
L'opérateur puissance (de 10)

Le Génie, le vendredi 19 mars 2010 à 18h55, dit :

Si tu t'arrêtes de faire la somme, à un moment, et que tu regarde le résultat, tu n'aura pas 1. Puisque tu auras nécessairement fait l'oppération un nombre FINI de fois. Si tu fais l'oppération un nombre INFINI de fois, tu auras "1".

Je te renvois à la définition de "limite" qu'on apprend... au début du lycée...

Le Génie, le vendredi 19 mars 2010 à 18h55, dit :

C'est impossible à écrire, 0.9 ... Mais dit moi génie... pour toi, c'est quoi le nombre "i" (racine carrée de (-1) ) ... Si je te demande de me donner i patate... tu t'y prends comment ? ... tu ne peux pas... selon ton raisonnement, i n'existe pas.
Et en effet, d'un certain point de vue il n'existe pas... mais les mathématique n'ont cure de ce point de vue qui est le point de vue de l'univers réel. C'est n'est pas leur objet...

Donc i existe même si tu ne peut pas le "voir", de même que 0.9 existe même si tu ne peux pas le voir...

''... Si tu t'arrêtes de faire la somme, à un moment, et que tu regarde le résultat, tu n'aura pas 1. Puisque tu auras nécessairement fait l'oppération un nombre FINI de fois. Si tu fais l'oppération un nombre INFINI de fois, tu auras "1"...''

Faire une opération un nombre infini de fois signifie que vous ne finirez jamais de faire cette opération... que vous n'aurez jamais de produit fini.

Donc si j'arrête de faire la somme et que je regarde le résultat je n'aurai jamais 1,
Mais si je n'arrête jamais de faire la somme et que je regarde le résultat j'aurai 1... Il suffirait donc de changer le ''jamais'' et la ''négation'' de place pour que le tour soit joué...

Mais si je n'arrête jamais de faire la somme alors je ne peux pas avoir de somme... puisque je n'arrête jamais de la faire...

De même si vous considérez une suite logique voulant qu'on ajoute toujours la moitié d'un nombre à ce nombre à partir de 1/2 alors en posant que le résultat donne 1 c'est qu'il y a quelque part dans la suite une opération voulant que :

X + X/2 = 2X
et donc que 3X/2 = 4X/2
Et ainsi qu'un des termes de la suite soit égal à sa moitié.

Vous avez raison, il y a des limites... comme celle disant qu'en effectuant un nombre infini d'opération alors vous verriez la fin et donc le résultat de cette opération... C'est d'une logique à tout cassé.
Si on pose des limites alors c'est que ce n'est pas infini... à moins que la limite soit l'infini.

Comme les mathématiques ne se fondent pas sur le réel alors on peut bien définir n'importe quoi n'est-ce pas... on ne peut le prouver dans le réel de toute façon.

''... Son écriture est 0.9 et il s'agit d'une écriture simplifiée de lim ([Somme de 1 à n] 9*10^-n ) : n tend vers +infini...''

Vous conviendrez qu'il y a le mot somme dans cette expression cher Mad_World...

''... Dire "compter le nombre de "9" de 0.99999... n'a pas de sens... c'est tout...''

Compter... n'est-ce pas simplement faire la somme?
Faire la somme des 9 ou les compter... celà aurait-il du sens en en faisant la somme mais n'en aurais pas en les comptant?

''... Je ne concois pas l'infini... mais je concoit qu'il existe...''

Concevoir une chose cher Mad_World... n'est-ce pas déjà que de lui prêter ou de lui donner une quelconque existence...

"... Je ne conçois mas l'infini... mais son existence mathématique...''

Tout comme je ne conçois pas de monstres ou de dragons... seulement leur existence littéraire et imaginaire.

Mais ce n'est qu'une question de point de vue vous savez bien... on peut dire aussi à la limite que tous les fruits de mon imagination existent bel et bien... c'est juste qu'en réalité je ne pourrai jamais vous les montrer. Pas plus que je pourrais prouver que de l'imagination ça existe aussi...

Mad_World, le lundi 22 mars 2010 à 12h00, dit :

1 x 0,999999999... = combien ?quoi?

Ce message a été modifié par pascalin - 22 mars 2010 - 22:01.

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