Maths spé: divisibilité dans Z

Bonsoir,

Un ami, qui a eu la bonne idée de faire maths en spécialité, est bloqué sur deux des trois exos de son DM pour jeudi. Ca serait sympa si vous pouviez l'aider, en lui donnant des pistes.

Exo 1:

n désigne un entier relatif

On pose a=2n+1 et b=n+3

1) a) Calculer 2b-a

Bon là, pas de problème. 2b-a= 2n+6-2n-1=5

b) Montrer que dans N, les seuls diviseurs communs à a et b sont 1 et éventuellement 5.

Là, c'est problématique. J'imagine qu'il faut utiliser 2b-a=5 mais comment...

Je pense que 5 est le reste de la division de 2b par a (comme a=bq+r pour la division de a par b ; 2b=aq+r pour la division de 2b par a, 2n+6=(2n+1)+5, q=1, r=5) mais je fais pas spé maths, je sais pas si on peut en déduire quelque chose.

2) Démontrer que a et b sont multiples de 5 si et seulement si n-2 est divisible par 5.

Encore problématique.

3) Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles 1 n'est pas le seul diviseur positif commun à a et b.

Pareil.

Exo 2:

On pose dans cet exercice de résoudre l'équation (E):

2x²+y²=139

où (x,y) désigne un couple d'entiers naturels

Tout l'exo pose problème, pour aller plus vite.

1) Déterminer les restes possibles de la division euclidienne du carré a² d'un entier a par 3.

2) On suppose que (x,y) est un couple d'entiers naturels vérifiant 2x²+y²=139.

a) Montrer que x est divisible par 3. (par l'absurde)

b) Montrer que x est inférieur ou égal à 8.

3) Résoudre l'équation (E).

Merci d'avance.

River on a besoin de toi !!

River on a besoin de toi !!

Effectivement.

je propose une piste pour le premier exo b)

soit d le diviseur commun à a et b

si a et b sont divisibles par d, normalement a et b doivent pouvoir s'écrire :

a=A*d

b=B*d

avec A et B appartenant à N*

En remplaçant dans l'expression du a) : 2b-a=2Bd-Ad=d(2B-A)=5

En cherchant les seules valeurs de d possibles pouvant éventuellement vérifier d(2B-A)=5, on doit pouvoir trouver d=5, mis à part le d=1 qui est d'office un diviseur

Donc si ton ami sèche toujours, c'est toujours une piste de prise

Merci bokou.

salut

moi je propose une autre piste

voila on conait tous la fameuse propriété des diviseurs

commun qui est

Si k est un diviseur commun aux entiers a et b, avec a>b, alors k est aussi un diviseur de (a-b) et de (a+b).

on a 2b-a=5 alors le diviseur commun de 2b et a c'est le diviseur de 5 qui est un nombre premier alors c'est 1 et éventuellement 5 comme 2 n'est pas divisible par 5 alors c'est b qui peut l'être

mais avec des conditions qu'on va verifier avec la question qui suit

pour que a et b soit divisibles par 5 il faut que a- b le soit

on a

a-b=2n+1-n-3=n-2 il faut que n-2 soit divisible par 5

c'est la méme idée pour la suite

bon courage

Merci bien.