Mathématiques sup

Exercice prépa eco 1ère année:

Bonjour,

pour tout n≥1, I n = ∫ de 0 à π t cos(nt) dt

K n = ∫ de 0 à π t²cos(nt) dt



En calculant I n et K n en fonction de n, je trouve:



I n = (π/n)sin (nπ) + (1/n²)cos(nπ) - 1/n²



K n = (π²/n)sin(nπ) + (2π/n²)cos(nπ) - (2/n^3)sin(nπ)



--> je ne sais même pas si ces deux développements sont corrects



On me demande ensuite d'en déduire que :

pour tout n≥1, 1/n² = ∫ de 0 à π ((t²/(2π))-t) cos(nt) dt



ie, si je ne me suis pas trompé: 1/n² = (K n)/2π - I n



seulement voilà; je trouve que:



(K n)/2π - I n = (π²/n)sin(nπ) - (2/n^3)sin(nπ) - (π/n)sin (nπ) + 1/n²



et je ne sais pas comment démontrer que cette expression est égale à 1/n²



Si vous avez des pistes, merci d'avance.

Bonsoir
n entier naturel ?
-> (K n)/2π - I n = (π²/n)sin(nπ) - (2/n^3)sin(nπ) - (π/n)sin (nπ) + 1/n² = 1/n² car sin(nπ)=0

je pige que dal!

Je ne comprends pas très bien Phobos: tu prétends que sin(n*pi)=o pour tout n entier naturel?

dessine un cercle trigo
sin(0)=0 ; sin(Pi)=0 : quand tu fais un tour complet ( 2*Pi) ou un demi tour (Pi) tu reviens aux mêmes endroits (un à gauche et un à droite) sur le cercle ; ton sin fait toujours 0, etc...

sur le même principe, cos(n*Pi)=(-1)^n , vu que ça fait alternativement 1 ou -1

Ce message a été modifié par koubo - mardi 06 novembre 2007 à 01:00.

je confirme...
et petit conseil garde ce résultat en tête il te servira plus d une fois en math sup / math spé....et même aprés

2 petites remarques:
1 - c'est "drôle" souvent en math sup c est quand on a fait le plus dur qu'on bute sur un truc...plus simple on va dire
2 - Remarque plus générale: c'est de cette façon qu'on devrait a mon sens utiliser ce forum et non pas comme on voit trop souvent "tiens voila mon DM merci de le faire a ma place" (bon ok c'est un peu caricaturé...)

Ce message a été modifié par Greg972 - mardi 06 novembre 2007 à 01:06.

Je ne voudrais pas vous contredire mais lorsqu'avec une calculatrice (genre ti 84) (ou même avec la calculatrice de google) on calcule sin (86*pi) (avec 86 entier naturel) on trouve -1,7637042 × 10-14 ce qui n'est pas exactement égal à 0.

c'est normal, ta calculatrice fait des arrondis...
teste avec une calculatrice qui fait du calcul formel, du style ti89 ou plus récent...

A vrai dire, c'est surtout l'histoire de la calculatrice qui m'a fait buter. En effet, en imaginant un cercle trigo, cela paraît plus qu'évident que le nombre est toujours nul.
Morale de l'histoire: une calculatrice ne résout pas tous les problèmes!

et oui, la calculatrice permet en général de "sentir" les choses, le raisonnement permet de les palper