Pensez-vous que 1=0.99999999... ?

[koubo 0]

Quelle est ta définition de 0.9999.. ?

Si ce nombre n'est pas défini formellement, tu ne peux rien affirmer dessus (ni son égalité avec 1, ni son inégalité avec 1).

Je pense pas qu'il existe un mathématicien qui niera que 0.9999.. c'est par définition 0 * 10^0 + 9 * 10^-1 + 9 * 10^-2 + 9 * 10^-3 + ...

ce que tu as écrit pour représenter 0.999999 (et je suis d'accord), c'est la somme de termes d'une suite géométrique de raison 0.1, et de premier terme 0.9

Une des formules pour calculer ce type de somme : (1er terme-1er absent)/(1-raison)

autrement dit : (0.9-epsilon)/(1-0.1)=1-epsilon/0.9

Si tu fais l'approximation que epsilon est égal à 0, c'est à dire que (0.9*0.1*0.1*0.1*... à l'infini) est nul , effectivement, 0.99999... sera égal à 1, mais ça reste une approximation...

Comme l'a dit Riverback : "il faut arrêter maintenant lolll, c'est pas égal point."

ben euh oui... 2 nombres différents ne sont pas égaux... étonnant non ?

Modifié le 16 juin 2008 par koubo

[SN3 The last. 226]

Ensemble ne sous-entend pas plusieurs éléments...

C'est bien pourquoi je mets un "S" à chiffres.

Sinon pour ce sujet débile (il faut bien l'avouer ) une valeur infinie ne peut être ègale à une valeur finie. Ca tombe sous le sens.

[Grenouille Verte 882]

Tout nombre réel admet au moins un développement décimal, c'est à dire qu'on peut l'écrire sous la forme d'un entier plus une série :

Somme(a_n/10^n, n=1..infini) où a_n est une suite de nombres entiers compris entre 0 et 9 (ce sont les décimale du nombre réel).

Ce développement décimal n'est pas nécessairement unique, car si a_n = 9, alors la série de terme général a_n/10^n converge vers 1.

Les nombre décimaux (ceux qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de décimales) ont donc tous deux développements décimaux. La réciproque est vrai, on a la propriété :

Propriété :

• Tout nombre réel admet au moins un développement décimal
  
• Un nombre réel est décimal si et seulement si il admet deux développement décimaux
  
• Un nombre réel est non décimal si et seulement si il admet un unique développement décimal.
  

Le développement décimal infini (avec que des 9 à la fin) d'un nombre décimal est appelé développement impropre.

Une petite remarque en passant, comme propriété on a aussi :

Le développement décimal d'un nombre réel est périodique si et seulement si il est rationnel.

[_plop_ 393]

Je crois qu'on a du mal à s'entendre entre ceux qui essayent de traduire la notion d'infini avec une définition physique et ceux qui parlent mathématiques ...

[Invité kdm118]

vous voulez vous triturer une fois de plus le cerveau on qu'a refaire une demonstration par l'absurde...

Ce genre de demonstration on les utilise pour demontrer par exemple que que racine de 2 est un nombre irrationnel ( qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction irréductible )

On suppose que racine de 2 peut s'ecrire sous forme de fraction irréductible p/q.... ( p et q sont donc premiers entre eux)

• Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi.
  
• Comme 2 divise p , il existe donc un entier naturel p' tel que p = 2p' mais alors p² = 4p'² c'est à dire 2q² = 4p'²
  
• on a 2q² = 4p'² par conséquent q² = 2p'² , donc q² est un multiple de 2 ou encore 2 divise q² donc 2 divise q.
  
• 2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse : p et q sont premiers entre eux
  

En conclusion :

Il n'existe pas de fraction irréductible égale à racine de 2 DONC racine de 2 est irrationnel...

Modifié le 17 juin 2008 par kdm118

[Tintagel 0]

ce que tu as écrit pour représenter 0.999999 (et je suis d'accord), c'est la somme de termes d'une suite géométrique de raison 0.1, et de premier terme 0.9 Une des formules pour calculer ce type de somme : (1er terme-1er absent)/(1-raison) autrement dit : (0.9-epsilon)/(1-0.1)=1-epsilon/0.9 Si tu fais l'approximation que epsilon est égal à 0, c'est à dire que (0.9*0.1*0.1*0.1*... à l'infini) est nul , effectivement, 0.99999... sera égal à 1, mais ça reste une approximation... Comme l'a dit Riverback : "il faut arrêter maintenant lolll, c'est pas égal point." ben euh oui... 2 nombres différents ne sont pas égaux... étonnant non ?

Si tu es d'accord avec la définition de 0.99999.. tu devrais être d'accord que ça vaut 1 non?

0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 1, limité d'une série géométrique comme tu l'as dis, ce n'est pas une approximation, c'est la valeur exacte de cette somme infinie.

Et ce n'est pas parce que 0.9999.. et 1 s'écrivent différemment que ce ne sont pas les mêmes nombres, de même que 2 et 2.0 sont bien les mêmes nombres.

une valeur infinie ne peut être ègale à une valeur finie

0.99999.. n'est pas une valeur infinie!

C'est une notation qui contient une infinité de 9.. ce n'est pas pour ça que ça représente une valeur infinie.

Est ce que pour toi 4.000000.. c'est une valeur infinie? Pourtant il y a bien une infinité de 0!

Tu peux additionner une infinité de nombres ensemble tout en obtenant un résultat fini, c'est toi qui ne semble pas au courant de ça.

[SN3 The last. 226]

Est ce que pour toi 4.000000.. c'est une valeur infinie?

Non. L'infinité de 0 ne représente aucune valeur. C'est d'ailleurs pourquoi 4,0000000.... ne s'écrit jamais.

[Tintagel 0]

Si, l'infinité de zéros représente zéro.

C'est pourquoi 4.0000.. c'est la même chose que 4.

0 aussi est un nombre...

0.9999... représente 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

ce qui est une valeur parfaitement définie, qui vaut 1

0.999.. = 1 a déjà été prouvé de 3 manières :

- x = 0.999.. => 10x = 9.999.. = 9 + x => 9x = 9 => x = 1

- 1/3 = 0.333.. => 3 * 1/3 = 3 * 0.333.. => 1 = 0.999..

- 0.999.. = 0.9 + 0.09 + 0.009 + .. = 1 limite d'une série géométrique

On a aussi parlé de la densité dans R, càd que si 1 et 0.999.. sont différents alors on devrait pouvoir trouver un nombre entre les deux ; personne n'a encore trouvé un tel nombre.

Je ne sais pas il faut combien d'arguments pour convaincre que 1 = 0.999.., même si apparemment ça semble bizarre pour certains.

Modifié le 17 juin 2008 par Tintagel

[SN3 The last. 226]

Non.

[Invité kdm118]

non parce que ca n'atteindra jamais un

[Tintagel 0]

non parce que ca n'atteindra jamais un

Evidemment personne ne va en pratique s'amuser à additionner 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... jusqu'à obtenir 1, cela prendrait un temps infini.

Il n'empêche qu'on peut très bien définir la valeur 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... et qu'elle est définie comme étant une limite. On peut très bien jouer avec l'infini en math.

Est-tu d'accord que 1+1+1+1+... (jusqu'à l'infini) ça donne l'infini?

Pourtant, on n'atteindra jamais l'infini! Donc ça ne pourrait pas valoir l'infini selon toi...

C'est comme ce paradoxe:

Une flèche pour parcourir une distance D doit d'abord parcourir la moitié du trajet, donc D/2

En suite il lui reste la moitié de la moitié, càd D/4

Après, il lui restera D/8 à parcourir, ensuite D/16, etc.

Donc la flèche n'atteindra jamais son objectif, car il restera toujours un morceau de trajet à parcourir.

Donc tout mouvement sur terre est impossible.

Tu es d'accord avec ça alors?

Et j'attend toujours une démonstration que 0.999.. est différent de 1, ou un nombre entre 0.999.. et 1

[SN3 The last. 226]

Evidemment personne ne va en pratique s'amuser à additionner 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... jusqu'à obtenir 1, cela prendrait un temps infini.

Surtout que l'on n'obtiendrai jamais 1.

0.999... + 0.111... = 1 ou 1.111... ?

[silverdoudou 0]

faut pas ma la faire à mois.....

mathématiquement impossible, 1+1=2 0.999999999+0.9999999999=1.99999999999998 donc ça marche pas !

[SN3 The last. 226]

Il faut rajouter un 0 de plus à chaque fois après la virgule. Essaye encore.

[silverdoudou 0]

quel 0 en plus?

Visuellement c'est différent donc pas possible qu'ils soient identique !

[Tintagel 0]

Evidemment personne ne va en pratique s'amuser à additionner 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... jusqu'à obtenir 1, cela prendrait un temps infini.

Surtout que l'on n'obtiendrai jamais 1. 0.999... + 0.111... = 1 ou 1.111... ?

En un temps fini on obtiendrait jamais 1, mais ici on demande un effort d'abstraction afin de concevoir des sommes infinies ; et 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 1 (si la somme est bien infinie)

ça a été expliqué déjà, mais bon tu ne comprend sans doute pas les notions de limites, de suites/séries,...

Qu'est ce qui est faux dans 1/3 = 0.333.. => 3 * 1/3 = 3 * 0.333.. => 1 = 0.999.. ?

Si 0.999.. et 1 ne sont pas égaux, alors il devrait y avoir une erreur quelque part... Moi je ne trouve pas!

(0.999.. + 0.111.. = 1.111.. et pas 1)

faut pas ma la faire à mois..... mathématiquement impossible, 1+1=2 0.999999999+0.9999999999=1.99999999999998 donc ça marche pas !

Oui mais là tu n'as pas mis une infinité de 9 dans ton 0.9999999999

Si tu mets une infinité de 9, alors tu trouves 1.999999... sans jamais aucun 8 à la fin (vu qu'il n'y a pas de fin!)

Et 1.99999.. = 2 pour la même raison que 0.9999.. = 1

Merde quoi je suis quand même bien placé pour le savoir, je fais des math littéralement tous les jours, et justement des math abstraites/théoriques.

[SN3 The last. 226]

Voila, tu viens de mettre à néant toutes les fausses idées de tous les mathématiciens.

Visuellement, c'est différent.

[Tintagel 0]

Visuellement c'est différent donc pas possible qu'ils soient identique !

Pourquoi? Il y a une différence entre le nombre et sa notation (ça fait depuis le début du sujet que j'essaye de l'expliquer...)

XVIII et 18 ce sont bien les mêmes nombres... et pourtant c'est "visuellement différents"

En effet les non-matheux semblent croire qu'un nombre c'est "un dessin" alors que c'est un concept abstrait

"si les dessins sont différents alors les nombres sont différents" => en gros c'est votre 'argument'

Quel est le développement décimal de 1/3 si ce n'est pas 0.333333.. pour vous ?

Modifié le 17 juin 2008 par Tintagel

[Invité kdm118]

non parce que ca n'atteindra jamais un

Evidemment personne ne va en pratique s'amuser à additionner 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... jusqu'à obtenir 1, cela prendrait un temps infini.

Il n'empêche qu'on peut très bien définir la valeur 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... et qu'elle est définie comme étant une limite. On peut très bien jouer avec l'infini en math.

Est-tu d'accord que 1+1+1+1+... (jusqu'à l'infini) ça donne l'infini?

Pourtant, on n'atteindra jamais l'infini! Donc ça ne pourrait pas valoir l'infini selon toi...

1+1+1+1+1+ jusqua l'infini donne l'infini, l'infini ets quelque chose de tres difficile a concevoir mais de toute facon l'infini n'est pas un point c'est pour ca qu'on ne peut pas l'atteindre. et faire 0.9 +0,09+0.009 etc etc, va a l'infini aussi, mais ne donnera jamais 1 puisque qu'on rajoute toujours a 9 a la queu des autres, on additionne pas un 1 avec le dernier neuf

Visuellement c'est différent donc pas possible qu'ils soient identique !

Pourquoi? Il y a une différence entre le nombre et sa notation (ça fait depuis le début du sujet que j'essaye de l'expliquer...)

XVIII et 18 ce sont bien les mêmes nombres... et pourtant c'est "visuellement différents"

En effet les non-matheux semblent croire qu'un nombre c'est "un dessin" alors que c'est un concept abstrait

"si les dessins sont différents alors les nombres sont différents" => en gros c'est votre 'argument'

Quel est le développement décimal de 1/3 si ce n'est pas 0.333333.. pour vous ?

c'est vrai je suis d'accord, de plus que 1/3 fois 3 egal un et o.333333333333 fois 3 egal 0.99999 donc 1 et 0.9999 sont egales, mais pourquoi ecrire la meme chose mais de deux manieres differentes alors que nous sommes sous la meme ecriture. surtout que 1-0,99999999999999= 0.0000000000000000000000... et non 0

PS: j'espere que je suis clair

Modifié le 17 juin 2008 par kdm118

[Tintagel 0]

1+1+1+1+1+ jusqua l'infini donne l'infini, l'infini ets quelque chose de tres difficile a concevoir mais de toute facon l'infini n'est pas un point c'est pour ca qu'on ne peut pas l'atteindre. et faire 0.9 +0,09+0.009 etc etc, va a l'infini aussi, mais ne donnera jamais 1 puisque qu'on rajoute toujours a 9 a la queu des autres, on additionne pas un 1 avec le dernier neuf

Mais il n'y a pas de "dernier neuf", vu que ça va à l'infini!

Il y a une infinité de neufs, et 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... donne bien 1

Si tu n'es pas d'accord avec ça, alors pour être logique avec toi même, tu devrais penser qu'une flèche n'atteint jamais son objectif, vu qu'il lui reste toujours une moitié de moitié de ... de moitié de trajet à faire.

c'est vrai je suis d'accord, de plus que 1/3 fois 3 egal un et o.333333333333 fois 3 egal 0.99999 donc 1 et 0.9999 sont egales, mais pourquoi ecrire la meme chose mais de deux manieres differentes alors que nous sommes sous la meme ecriture. surtout que 1-0,99999999999999= 0.0000000000000000000000... et non 0 PS: j'espere que je suis clair

Là je ne comprend pas pourquoi tu n'es toujours pas d'accord avec moi que 0.999.. = 1

En pratique on n'écrit jamais 0.9999.. mais 1, vu que c'est plus simple. Mais les deux notations signifient la même chose, ce sont des "synonymes".

"1-0,99999999999999= 0.0000000000000000000000... et non 0"

désolé mais 0.00000000.. et 0 c'est exactement la même chose!

Par definition, entre 2 nombres reels existe un autre nombre reel. Existe-t-il un nombre reel entre 0.999999999999... et 1.00000000000.......?

ça existe et ça s'appelle en terme exact la densité. Entre deux réels, tu peux toujours trouver un autre réel diffèrent de ces deux là. C'est aussi valable pour 1 et 0.999999999999999999

Vu que tu es d'accord sur ce point, qu'attend tu pour nous exhiber un nombre entre 0.9999999.. et 1 ?

Car là tu dis juste qu'il en existe un sans nous le montrer ni prouver qu'il existe...