Pensez-vous que 1=0.99999999... ?

[I_Love_Myself 43]

C'est une démonstration célèbre :

Si y = 0.99999999... (à l'infini)

Alors : 10y = 10 x 0.9999999...

=> 10y = 9.9999999.....

=> 10y = 9 + 0.9999999...

=> 10y = 9 + y (puisque y = 0.9999999...)

=> 9y=9

=> y=1

donc 0.999999... = 1

Reste à retrouver la faille...

La faille est infinement simple !!

Tu ne peux pas diviser ni soustraire quelque chose à un nombre qui n'est pas défini(connu)..

[chaussette25 0]

Dans ce cas c'est comme prouvé que 1+1= 2 pourquoi ca ferait pas 3?

[Invité kdm118]

tu es sur de ca?

[ph0b 3]

=> 10y = 9 + 0.9999999

mais ce 0.99 a une infinité de 9.. - un 9

donc 10y = 9 + y - 0.000...00009

y= 1 - 0.00.....00001

tout dépend de la notion d'infini en laquelle on veut bien croire

[doug 1 625]

Dans ce cas c'est comme prouvé que 1+1= 2 pourquoi ca ferait pas 3?

Nan, 1+1= 11

[I_Love_Myself 43]

Absolument certains. Tu ne peux pas basé une démonstration d'un nombre exact (1) à partir d'un nombre arrondis (0.999999999....).

Je prend l'exemple très simple..

On prend 9,99999999999.......... si tu soustrais 0,999999999.......... tu n'obtiens pas 9 mais 9,000000................... (sachant que si ce nombre infini avait une fin (juste pour se le représenté) cela serai 9,000........1)

A partir de là : ...

=> 10y = 9.9999999.....

=> 10y = 9 + 0.9999999...

.... est totalement faux..

Et on aurait donc :

=> 10y= 9.000......1 + 0.99999

Modifié le 15 juin 2008 par I_Love_Myself

[Invité kdm118]

oui mais si 0.9999999 est infini, ca veut dire je pense qu'il n'y a que des neufs et pas autre chose, surtout que dans le cas precis on est sur qu'il n'y a pas de 1 a la fin

[I_Love_Myself 43]

Je disais juste que 1-0.999999999999999999999999 = un truc du genre 0.00000000000......1. Et que à partir de là 9.999999999999999 - 0.999999999999 n'est pas égal à 9.

[Invité kdm118]

a ok je vois ce que tu veux dire, moi personnelement je suis d''accord avec ton raisonement, mais le truc qui cloche c'est comme c'est l'infini il n'y a jamais possibilite que ca finisse a 1 quand tu soustrait 1-o,99999999999999999999999999... puisque c'est infini, c'est la notion de l'infini, que j'ai beaucoup de mal a concevoir, c'est pourquoi je reste persude que 0.999999999999.... n'est pas egal a 1 meme si cette demonstration le demontre

[I_Love_Myself 43]

Je suis d'accord c'est bien difficile de calculer avec de l'infinie.

Cela reviens à ce que je disait à mon premier post. On ne peux pas faire de calculs à partir de nombres infinis sans faire de calculs de limites...

[Attachai 3]

Autre chose :

1/3= 0.33333333 ... (infini)

Or (1/3)*3 = 1 et 0.33333... * 3 = 0.999999...

Donc 1 = 0.9999999...

Prenez juste mon exemple.

[Invité kdm118]

Je suis d'accord c'est bien difficile de calculer avec de l'infinie.

Cela reviens à ce que je disait à mon premier post. On ne peux pas faire de calculs à partir de nombres infinis sans faire de calculs de limites...

si on pars du principe que c'est l'infini donc une infinite de neuf, la demonstarzion est juste alors mais c'est vrai que ta reflexion est tres interessante

Autre chose :

1/3= 0.33333333 ... (infini)

Or (1/3)*3 = 1 et 0.33333... * 3 = 0.999999...

Donc 1 = 0.9999999...

Prenez juste mon exemple.

c'est vrai que.... putain a cette heure ci ffaire des maths c'est crevant, je vais en parler avec une specialiste elle sera quoi repondre

[Tintagel 0]

Absolument certains. Tu ne peux pas basé une démonstration d'un nombre exact (1) à partir d'un nombre arrondis (0.999999999....). Je prend l'exemple très simple.. On prend 9,99999999999.......... si tu soustrais 0,999999999.......... tu n'obtiens pas 9 mais 9,000000................... (sachant que si ce nombre infini avait une fin (juste pour se le représenté) cela serai 9,000........1) A partir de là : ...

=> 10y = 9.9999999..... => 10y = 9 + 0.9999999...

.... est totalement faux.. Et on aurait donc : => 10y= 9.000......1 + 0.99999

Désolé mais c'est toi qui te trompe

Déjà je ne comprend pas ce que tu veux dire quand tu dis que 0.99999... est un nombre "arrondi"... Il ne s'agit pas d'une approximation, on connait exactement toutes les décimales de ce nombre: c'est un zéro, une virgule, et ensuite une infinité de neufs.

Et de toute façon, en math on peut très bien manipuler des nombres d'une manière générale, sans qu'il soit nécessaire de les connaitre (c'est bien pour ça qu'on utilise des lettres comme x, y, etc).

Et 9.99999... - 0.99999... = 9.000000000... avec une infinité de zéros, et donc jamais de 1 dans le développement décimal

Comme quelqu'un l'a dit plus haut, si deux nombres sont différents, alors on peut trouver un troisième nombre entre les deux... Je te met au défi de trouver un nombre entre 0.99999.... et 1!

On peut encore le voir autrement: 0.99999... c'est 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... (jusqu'à l'infini)

et on peut prouver par un calcul de limite que cette somme infinie (on appelle ça une "série") vaut bien 1

Modifié le 16 juin 2008 par Tintagel

[marylia 618]

il y en a qui on vraiment rien à faire

[Invité kdm118]

marylia, il y en a que ca interresse, d'autres preferent flooder , pour une foi qu'il y a un debat intelligent qui ne concerne pas les debats politiques ou d'actualite...

[yop! 5 175]

Explication pédagogique pour les non-matheux !

Voici le problème :

Si y = 0.99999999... (à l'infini)

Alors : 10y = 10 x 0.9999999...

=> 10y = 9.9999999.....

=> 10y = 9 + 0.9999999...

=> 10y = 9 + y (puisque y = 0.9999999...)

=> 9y=9

=> y=1

donc 0.999999... = 1

=> 10y = 9 + 0.9999999

mais ce 0.99 a une infinité de 9.. - un 9

donc 10y = 9 + y - 0.000...00009

y= 1 - 0.00.....00001

tout dépend de la notion d'infini en laquelle on veut bien croire

Voilà ! Phobos a mis le doigt sur la faille !

La faille est de multiplier un nombre à décimale infinie par 10 !

L'infini multiplié par 10 ça reste l'infini ? Oui, d'un point de vue philosophique !

Reste à savoir, quand on déplace la virgule dans ces décimales infinies de 0,999999..., si on donne une même définition à deux nombres pourtant différents. Ce qui est illogique.

Démonstration : la preuve par le 4 !

Alors : 10y = 10 x 0.9999999...

=> 10y = 9.9999999.....

=> 10y = 9 + 0.9999999...

Les 0,9999999... que j'ai mis en gras ne sont pas les mêmes !! Et la notion "d'infini" nous induit en erreur sur la définition même de ces deux termes.

Imaginons que dans cette suite de 9, il y ait un 4.

y = 0,99999499...

10y = 9,9999499... (on déplace la virgule et DONC la suite de décimales !)

10y = 9 + 0,9999499

10y n'est donc pas égal à 9 + y !!

Le premier y montre cinq 9 suivi d'un 4 puis d'une infinité de 9.

En suivant la démonstration on voit bien qu'on arrive à QUATRE 9 suivi d'un 4 puis d'une infinité de 9.

Imaginons alors que ce 4 soit un 9.

Ce n'est pas parce que c'est un 9 parmi les 9 que son déplacement peut être ignoré !!

Nous n'avons plus affaire au même nombre. Le y qui arrive dans la démonstration d'origine est un FAUX y !

Or, on a bien à faire au même nombre...

Le déplacement d'une décimale dans l'infini, c'est ça le truc. Il y a quand même débat sur cette définition dans le monde des mathématiques !

En fait, cette équation est presque non-mathématique. Elle est plutôt symbolique, métaphysique.

Sur notre conception de l'infini et le fait de pouvoir ajouter (ou soustraire, ou multiplier ou diviser) des choses à l'infini... qui est censé rester l'infini.

Mais alors ? Où a disparu cette putain de décimale ?

donc 10y = 9 + y - 0.000...00009

Non non... mais presque. En fait, cette décimale de 9, on ne pourra pas l'attraper. On peut juste dire qu'elle se situe après la fin de l'infini !

Et l'infini, c'est long ! Surtout vers la fin !

Tout le monde a compris ? C'est clair ?

Bon, faites moi une dissertation sur le sujet : "L'esprit humain peut-il concevoir l'infini ?" ou "Qui peut me retrouver cette putain de décimale ?"

Je ramasse les copies dans une heure !

Modifié le 16 juin 2008 par yop!

[Tintagel 0]

Mais il n'y a pas d'erreur dans cette démonstration

On peut très bien manipuler des nombres avec un nombre infini de décimales, cela ne pose aucun problème!

10 * 0.99999... = 9.99999... = 9 + 0.99999... ces égalités sont tout à fait correctes.

de même que 10 * 3.333... = 33.333

ou 10 * 3.141592... = 31.41592...

D'ailleurs 1 est aussi d'une certaine manière un nombre avec une infinité de décimales: 1 = 1.000000... (avec une infinité de zéros).

127.42 par définition ça signifie 1 * 100 + 2 * 10 + 7 * 1 + 4 * 1/10 + 2 * 1/100

C'est ainsi que fonctionne notre système de numération en base 10.

donc 1 c'est 1 * 1

et 0.999... c'est 0 * 1 + 9 * 1/10 + 9 * 1/100 + 9 * 1/1000 + ...

or 1 = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ... (en continuant à l'infini)

je ne rentre pas dans les détails, mais ça peut se prouver formellement (limite d'une série géométrique...)

un c'est un nombre, un concept

1 ou 1.000... ou 0.999... ce sont des représentations de ce nombre dans le système décimal

il y a plusieurs manières de représenter le même nombre, c'est tout à fait normal

Je ne comprend pas pourquoi vous refusez d'admettre que 1 et 0.999... c'est le même nombre, ce n'est même pas un sujet de débat, n'importe quelle personne s'y connaissant suffisamment en math vous le dira.

Je fais des études de mathématiques théoriques je pense quand même savoir de quoi je parle.

Il y a plein de paradoxes et de questions intéressantes en mathématiques mais celle-ci n'en est même pas une

Modifié le 16 juin 2008 par Tintagel

[yop! 5 175]

Mais il n'y a pas d'erreur dans cette démonstration

On peut très bien manipuler des nombres avec un nombre infini de décimales, cela ne pose aucun problème!

10 * 0.99999... = 9.99999... = 9 + 0.99999... ces égalités sont tout à fait correctes.

Oui, justement ! Je ne remets pas ça en cause ! J'essayais juste de cibler où se passait ce tour de magie conceptuel !

Car c'est bien sur un point de vue conceptuel que l'infinité des nombres est intéressante... et encore sujette à des découvertes.

D'ailleurs 1 est aussi d'une certaine manière un nombre avec une infinité de décimales: 1 = 1.000000... (avec une infinité de zéros).

En effet !

un c'est un nombre, un concept

1 ou 1.000... ou 0.999... ce sont des représentations de ce nombre dans le système décimal

il y a plusieurs manières de représenter le même nombre, c'est tout à fait normal

Je ne comprend pas pourquoi vous refusez d'admettre que 1 et 0.999... c'est le même nombre, ce n'est même pas un sujet de débat, n'importe quelle personne s'y connaissant suffisamment en math vous le dira.

Je fais des études de mathématiques théoriques je pense quand même savoir de quoi je parle.

Il y a plein de paradoxes et de questions intéressantes en mathématiques mais celle-ci n'en est même pas une

Et bien si, pour moi ça reste un paradoxe conceptuel quand bien même les mathématiques s'en accomodent.

Et justement, 1=0,999999... est admis ! C'est une convention que nos systèmes mathématiques ont même approuvé. Jouer avec les nombres infinis ne pose pas de problèmes, non. Calculer l'infini, comme tu le précises Tintagel, ça reste théorique.

C'est le fondement des mathématiques et de nos conceptions de l'abstrait qui est mis à table avec ces équations. Les maths ont beaucoup évolué, nul doute qu'elles évolueront encore.

Et notre conception de l'inifini aussi.

Mais j'ai abordé la question d'un point de vue non-mathématicien !

[SN3 The last. 226]

Je ne comprend pas pourquoi vous refusez d'admettre que 1 et 0.999... c'est le même nombre

Faux. 1 est un chiffre, 0.9999999... un nombre. Nuance capitale.

[Tintagel 0]

Je ne comprend pas pourquoi vous refusez d'admettre que 1 et 0.999... c'est le même nombre

Faux. 1 est un chiffre, 0.9999999... un nombre. Nuance capitale.

1 est à la fois un chiffre et un nombre.

Chiffres = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombres = tout ce qu'on peut écrire avec des chiffres, donc 17, 5.75, -78, racine de 2, pi, et aussi 1